Question

9．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（0，1），f（x-2）是偶函數(shù)．函數(shù)f（x）的圖象與直線y=2x相切，且切點位于第一象限．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對一切x∈[-1，1]，不等式f（x+t）＜f（$\frac{x}{2}$）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出c=1，再根據(jù)f（x-2）為偶函數(shù)，列出相應的等式，再結合函數(shù)f（x）的圖象與直線y=2x相切，由判別式為0，可得解析式；
（2）由題意可得$\frac{1}{4}$（x+t+2）²＜$\frac{1}{4}$（$\frac{x}{2}$+2）²，即為（t+$\frac{x}{2}$）（t+4+$\frac{3x}{2}$）＜0，由x∈[-1，1]，可得-t＞$\frac{1}{2}$且-t＜4-$\frac{3}{2}$，由恒成立思想可得t的范圍．

解答 解：（1）由二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（0，1），
則c=1，f（x）=ax²+bx+1，
f（x-2）=a（x-2）²+b（x-2）+1=ax²-（4a-b）x+（4a-2b+1）為偶函數(shù)，
即有4a-b=0⇒b=4a，f（x）=ax²+4ax+1，
聯(lián)立直線y=2x和y=f（x），消去y，可得
ax²+（4a-2）x+1=0，由相切的條件可得△=（4a-2）²-4a=0，
解得a=1或a=$\frac{1}{4}$，
當a=1時，可得切點為（-1，-2），舍去．
當a=$\frac{1}{4}$時，可得切點為（2，4），
則有f（x）=$\frac{1}{4}$x²+x+1；
（2）對一切x∈[-1，1]，不等式f（x+t）＜f（$\frac{x}{2}$）恒成立，
即為$\frac{1}{4}$（x+t+2）²＜$\frac{1}{4}$（$\frac{x}{2}$+2）²，
即為（t+$\frac{x}{2}$）（t+4+$\frac{3x}{2}$）＜0，
由$\frac{x}{2}$-（4+$\frac{3x}{2}$）=-x-4＜0，
可得-$\frac{x}{2}$＞-（4+$\frac{3x}{2}$），
即有$\frac{x}{2}$＜-t＜$\frac{3x}{2}$+4在x∈[-1，1]恒成立，
則有-t＞$\frac{1}{2}$且-t＜4-$\frac{3}{2}$，
即為-$\frac{5}{2}$＜t＜-$\frac{1}{2}$．
則實數(shù)t的取值范圍是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的奇偶性和直線與拋物線相切的條件，同時考查不等式恒成立的解法，注意化簡運用參數(shù)分離，屬于中檔題．