Question

如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（Ⅰ）求證：平面BCD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅲ）求直線BE與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出DC⊥面ABC，由此能證明平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅱ）取BD的中點P，連結(jié)EP、FP，由已知條件推導(dǎo)出四邊形AFPE是平行四邊形，由此能證明AF∥面BDE．
（Ⅲ）∠EBP是直線BE與平面BCD所成角，由此能求出其正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵面ABC⊥面ACDE，
面ABC∩面ACDE=AC，CD⊥AC，
∴DC⊥面ABC，
又∵DC?面BCD，∴平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅱ）證明：取BD的中點P，連結(jié)EP、FP，則FP

∥

.

1

2

DC，
又∵EA

∥

.

1

2

DC，∴EA

∥

.

FP，
∴四邊形AFPE是平行四邊形，∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE且AF?面BDE，∴AF∥面BDE．
（Ⅲ）解：∵DC⊥面ABC，∴DC⊥AF，
∵等腰直角△ABC，F(xiàn)為BC的中點，
∴AF⊥BC，∵DC交BC于C，∴AF⊥面BCD，
又AF∥EP，∴EP⊥面BCD，
∴∠EBP即為所求，
∴sin∠EBP=

10

5

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查二面角正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的合理運用．