Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F₂，點(diǎn)F₁與F₂關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且

F1P

•

F2Q

=-5．
（Ⅰ）求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)x₀；
（Ⅱ）若橢圓C以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，且F₁，F(xiàn)₂及橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)圍成的三角形面積為1．
①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②過點(diǎn)F₂作直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)

F2A

=λ

F2B

，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用

F1P

•

F2Q

=-5，結(jié)合P（x₀，y₀）在拋物線上，即可求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)x₀；
（Ⅱ）①設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用F₁，F(xiàn)₂及橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)圍成的三角形面積為1，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②分類討論，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，即λ∈[-2，-1）時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用

F2A

=λ

F2B

，可得λ+

1

λ

+2=

-4

1+2k2

，求出k的范圍，

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），所以|

TA

+

TB

|=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），利用韋達(dá)定理，用k表示，即可求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得F₂（1，0），F(xiàn)₁（-1，0），設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），
則

F1P

=(x0+1，y0)，

F2Q

=(x0-1，-y0)．
由

F1P

•

F2Q

=-5，
得x02-1-y02=-5即x02-y02=-4，①…（3分）
又P（x₀，y₀）在拋物線上，則y02=4x0，②
聯(lián)立①、②易得x₀=2…（5分）
（Ⅱ）①設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意得c=1，
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由

1

2

•2c•b=1，解得b=1…（6分）
從而a²=b²+c²=2，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1…（7分）
②（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即λ=-1時(shí)，A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，
又T（2，0），所以|

TA

+

TB

|=|(-1，

2

2

)+(-1，-

2

2

)|=2…（8分）
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，即λ∈[-2，-1）時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
由

y=kx-k x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），顯然y₁≠0，y₂≠0，則由根與系數(shù)的關(guān)系，
可得：x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1•x2=

2k2-2

1+2k2

…（9分）
y1+y2=k(x1+x2)-2k=

-2k

1+2k2

⑤
y1•y2=k2(x1x2-(x1+x2)+1)=

-k2

1+2k2

，⑥
因?yàn)?span id="s88co66" class="MathJye">

F2A

=λ

F2B

，所以

y1

y2

=λ，且λ＜0．
將⑤式平方除以⑥式得：λ+

1

λ

+2=

-4

1+2k2

．
由λ∈[-2，-1）得λ+

1

λ

∈[-

5

2

，-2)即λ+

1

λ

+2∈[-

1

2

，0)，
故-

1

2

≤

-4

1+2k2

＜0，解得k2≥

7

2

．…（10分）
因?yàn)?span id="msy6iaq" class="MathJye">

TA

=（x₁-2，y₁），

TB

=（x₂-2，y₂），所以

TA

+

TB

=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
又x1+x2-4=

-4(1+k2)

1+2k2

，
故|

TA

+

TB

|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=

16(1+k2)2

(1+2k2)2

+

4k2

(1+2k2)2

=

4(1+2k2)2+10(1+2k2)+2

(1+2k2)2

=4+

10

1+2k2

+

2

(1+2k2)2

…（11分）
令t=

1

1+2k2

，因?yàn)?span id="668ci6e" class="MathJye">k2≥

7

2

所以0＜

1

1+2k2

≤

1

8

，即t∈(0，

1

8

]，
所以|

TA

+

TB

|2=2t2+10t+4=2(t+

5

2

)2-

17

2

∈(4，

169

32

]．
所以|

TA

+

TB

|∈(2，

13 2

8

]…（13分）
綜上所述：|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查小時(shí)分析解決問題的能力，屬于中檔題．