Question

已知函數(shù)f(x)=

16x+7

4x+4

，數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁＞0，b₁＞0，a_n=f（a_n-1），b_n=f（b_n-1），n=2，3…
（Ⅰ）若a₁=3，求a₂，a₃；
（Ⅱ）求a₁的取值范圍，使得對任意的正整數(shù)n，都有a_n+1＞a_n；
（Ⅲ）若a₁=3，b₁=4，求證：0＜bn-an≤

1

8n-1

，n=1，2，3…

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（I）由an=f(an-1)=

16an-1+7

4an-1+4

，a₁=3，分別令n=2，3即可得出；
（II）先證明函數(shù)f（x）在x＞0時單調(diào)遞增，只要滿足a₂＞a₁即可．
（III）利用（II）的函數(shù)f（x）及數(shù)列的單調(diào)性，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．

解答： 解：（I）∵an=f(an-1)=

16an-1+7

4an-1+4

，a₁=3，
∴a2=

16a1+7

4a1+4

=

16×3+7

4×3+4

=

55

16

，a3=

16a2+7

4a2+4

=

16× 55 16 +7

4× 55 16 +4

=

248

71

．
（II）∵f(x)=

16x+16-9

4x+4

=4-

9

4x+4

，當(dāng)x＞0時，f′(x)=

9

4(x+1)2

＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
因此只要a₂＞a₁即可得到a_n+1＞a_n．
由a₂=

16a1+7

4a1+4

＞a1，化為4

a

2 1

-12a1-7＞0，即（2a₁+1）（2a₁-7）＞0，
又a₁＞0，∴a1＞

7

2

．
因此當(dāng)a1＞

7

2

時，對任意的正整數(shù)n，都有a_n+1＞a_n；
（III）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)a₁=3，b₁=4，對于?n∈N^*，0＜bn-an≤

1

8n-1

成立．
（1）當(dāng)n=1時，∵b₁-a₁=4-3=1，∴0＜b1-a1≤

1

81-1

=1成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k≥1（k∈N^*）時，結(jié)論0＜bk-ak≤

1

8k-1

成立．
則當(dāng)n=k+1時，b_k+1-a_k+1=(4-

9

4bk+4

)-(4-

9

4ak+4

)=

9

4

•

bk-ak

akbk+ak+bk+1

≤

9

4

•

1 8k-1

3×4+3+4+1

=

9

10

×

1

8k

＜

1

8k+1-1

，因此當(dāng)n=k+1時，不等式0＜b_k+1-a_k+1≤

1

8(k+1)-1

成立．
綜上可知：當(dāng)a₁=3，b₁=4，對于?n∈N^*，0＜bn-an≤

1

8n-1

成立．

點評：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性可得數(shù)列的單調(diào)性、利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．