Question

13．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACEF為矩形，且AF⊥AB，CE=1．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACEF；
（Ⅱ）若點P為線段BE的中點，求四棱錐P-ACEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證BC⊥平面ACEF，已知條件平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，只要證明BC⊥AC即可，
根據(jù)已知條件，通過解三角形得到BC⊥AC，則結論得到證明；
（Ⅱ）由BC⊥平面ACEF，可得BC為點B到平面ACEF的距離，利用棱錐的體積公式，即可求四棱錐P-ACEF的體積．

解答 （Ⅰ）證明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AC•BCcos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC，
又四邊形ACEF為矩形，
∴AF⊥AC，
∵AF⊥AB，AB∩AC=A，
∴AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥BC，
∵AF∩AC=A，
∴BC⊥平面ACEF；
（Ⅱ）解：由BC⊥平面ACEF，可得BC為點B到平面ACEF的距離，
由于點P為線段BE的中點，則點P到平面ACEF的距離為h=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
∵S_矩形ACEF=$\sqrt{3}$，
∴四棱錐P-ACEF的體積為$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判斷，考查棱錐的體積公式，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．