Question

13．已知A（1，1），B（3，4），C（2，0），向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為θ，則tan2θ=$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)的定義，求出向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角余弦值，
再根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系與二倍角公式，計(jì)算即可．

解答 解：A（1，1），B（3，4），C（2，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，3），
$\overrightarrow{AC}$=（1，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2×1+3×（-1）=-1，
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
由向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{13}×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
sinθ=$\sqrt{1{-cos}^{2}θ}$=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-5，
∴tan2θ=$\frac{2tanθ}{1{-tan}^{2}θ}$=$\frac{2×（-5）}{1{-（-5）}^{2}}$=$\frac{5}{12}$．
故答案為：$\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)求值問題．是中檔題．