Question

9．已知f（x）=$\frac{2}{\sqrt{k{x}^{2}+4kx+3}}$．
（1）若f（x）定義域為R，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若f（x）定義域為（-6，2），求實數(shù)k的值；
（3）若f（x）值域為（0，+∞），求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）定義域為R，則kx²+4kx+3＞0恒成立，故k=0，或$\left\{\begin{array}{l}k＞0\\ 16{k}^{2}-12k＜0\end{array}\right.$，
（2）若f（x）定義域為（-6，2），則-6，2是一元二次方程kx²+4kx+3=0的兩根，由韋達定理可得答案；
（3）若f（x）值域為（0，+∞），故二次函數(shù)t=kx²+4kx+3的圖象開口朝下，且與x軸僅有交點，進而可得答案．

解答 解：（1）若f（x）定義域為R，則kx²+4kx+3＞0恒成立，
故k=0，或$\left\{\begin{array}{l}k＞0\\ 16{k}^{2}-12k＜0\end{array}\right.$，
解得：k∈[0，$\frac{3}{4}$）；
（2）若f（x）定義域為（-6，2），則-6，2是一元二次方程kx²+4kx+3=0的兩根，
由韋達定理得：-6×2=-12=$\frac{3}{k}$，解得：k=-$\frac{1}{4}$，
（3）若f（x）值域為（0，+∞），
故二次函數(shù)t=kx²+4kx+3的圖象開口朝上，且與x軸僅有交點，
故$\left\{\begin{array}{l}k＞0\\ 16{k}^{2}-12k≥0\end{array}\right.$，
解得：k≥$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．