Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，，，求當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時(shí)內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；

（3）若直線：與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與的交點(diǎn)在直線上．

Answer 1

（1）設(shè)橢圓方程為，

將、、代入橢圓E的方程，得

，解得，．

∴橢圓的方程 ．                                                                

故內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為．                    

（3）解法一：將直線代入橢圓的方程并整理得

．

設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，．

由韋達(dá)定理得，．

直線的方程為，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．

∵，

∴

因此結(jié)論成立．

綜上可知直線與直線的交點(diǎn)住直線上．                

解法二：直線的方程為，即．

由直線的方程為，即

由直線與直線的方程消去，得

      

      

故直線與直線的交點(diǎn)在直線上．