Question

18．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡解析式可得f（x）=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$，由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由$0≤x≤\frac{π}{2}$可求$0≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）+1$…（4分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$
所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}}]（{k∈Z}）$…（7分）
（2）當$0≤x≤\frac{π}{2}$時$0≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，
所以當$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{8}$時，函數(shù)f（x）取得最大值$\sqrt{2}+1$，
當$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$即$x=\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最小值0…（14分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值的求法，屬于基本知識的考查．