Question

已知函數(shù)f(x)=mx-

m

x

，g(x)=2lnx．
（1）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若x∈（1，e]時，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）m=2時，f′（1）=4，從而可求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，x∈（1，e]，?m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，構造函數(shù)G（x）=

2x+2xlnx

x2-1

，當x∈（1，e]時，可求得G′（x）＜0，即G（x）在x∈（1，e]時遞減，可求G（x）在x∈（1，e]時的最小值．

解答：解：（1）m=2時，f（x）=2x-

2

x

，f′（x）=2+

2

x3

，f′（1）=4，（2分）
切點坐標為（1，0），
∴切線方程為y=4x-4（4分）
（2）由題意知，mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
∵x²-1＞0
則當x∈（1，e]時，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，（7分）
令G（x）=

2x+2xlnx

x2-1

，當x∈（1，e]時，
G′（x）=

-2(x2+1)．lnx-4

(x2-1)2

＜0，（9分）
則G（x）在x∈（1，e]時遞減，
∴G（x）在x∈（1，e]時的最小值為G（e）=

4e

e2-1

，（11分）
則m的取值范圍是（-∞，

4e

e2-1

）（12分）

點評：本題考查利用導數(shù)求求切線方程，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查構造函數(shù)分析解決問題的能力，考查恒成立問題，突出轉化思想與運算能力的考查，屬于難題．