Question

已知函數f(x)=m(sinx+cosx)4+

1

2

cos4x在x∈[0，

π

2

]時有最大值為

7

2

，則實數m的值為

 

．

Answer 1

分析：利用同角三角函數的基本關系式以及二倍角公式化簡函數f(x)=m(sinx+cosx)4+

1

2

cos4x二次函數，通過m的取值分別求出函數的最大值時m的值，即可得到結果．

解答：解：函數f(x)=m(sinx+cosx)4+

1

2

cos4x
=m（1+2sinxcosx）²+

1

2

cos4x
=m（1+2sin2x+six²2x）+

1

2

（1-2sin²2x）
=（m-1）sin²2x+2msin2x+m+

1

2

．
①當m=1時，函數化為：2sin2x+1+

1

2

．當sin2x=1時，函數取得最大值，2+1+

1

2

=

7

2

．滿足題意．
②當m＞1時，函數化為：（m-1）（sin2x+

m

m-1

）²+

1

2

-

m

m-1

，當sin2x=1時，函數取得最大值，
可得m-1+2m+m+

1

2

=

7

2

，解得m=1，不滿足題意．
③當m≤

1

2

時，

m

m-1

∈[-1，1]，當sin2x=-

m

m-1

時，函數取得最大值，此時

1

2

-

m

m-1

=

7

2

，解得m=

3

4

，不滿足題意．
④當

1

2

＜m＜1時，sin2x=1時函數取得最大值，此時有m-1+2m+m+

1

2

=

7

2

，解得m=1不滿足題意．
綜上，m=1．
故答案為：1．

點評：本題考查三角函數的最值的應用，分類討論思想的應用，考查計算能力．