Question

3．若關(guān)于x的不等式$\frac{a{x}^{2}+bx+1}{x-c}$＞0的解集是{x|-3＜x＜$\frac{1}{3}$或x＞1}，則不等式ax²+bx+c＜0的解集是$（\frac{2-\sqrt{13}}{3}，\frac{2+\sqrt{13}}{3}）$．

Answer 1

分析 將$\frac{a{x}^{2}+bx+1}{x-c}＞0$等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式組，根據(jù)原不等式的解集和韋達(dá)定理求出a、b、c的值，再由一元二次不等式的解法求出所求的不等式的解集．

解答 解：由$\frac{a{x}^{2}+bx+1}{x-c}＞0$得，$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+bx+1＞0}\\{x-c＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+bx+1＜0}\\{x-c＜0}\end{array}\right.$，
因?yàn)?\frac{a{x}^{2}+bx+1}{x-c}＞0$的解集是{x|-3＜x＜$\frac{1}{3}$或x＞1}，
所以-3、$\frac{1}{3}$、1是方程ax²+bx+1=0和x-c=0的根，
經(jīng)驗(yàn)證c=-3，1、$\frac{1}{3}$是ax²+bx+1=0的兩個(gè)根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}=1+\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{a}=1×\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
則不等式ax²+bx+c＜0為3x²-4x-3＜0，
解得$\frac{2-\sqrt{13}}{3}＜x＜\frac{2+\sqrt{13}}{3}$，
所以不等式的解集是$（\frac{2-\sqrt{13}}{3}，\frac{2+\sqrt{13}}{3}）$，
故答案為：$（\frac{2-\sqrt{13}}{3}，\frac{2+\sqrt{13}}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分式和一元二次不等式的解法，以及韋達(dá)定理，考查化簡能力、分類討論和轉(zhuǎn)化思想．