Question

15．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，9），若P（ξ＞3）=a，P（1＜ξ≤3）=b，則函數(shù)$f（a）=\frac{{{a^2}+a-1}}{a+1}$的值域是$（-1，-\frac{1}{6}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件確定a的范圍，令$t=a+1∈（1，\frac{3}{2}）$，函數(shù)$f（a）=g（t）=t-\frac{1}{t}-1$在$t∈（1，\frac{3}{2}）$上是增函數(shù)，即可求出函數(shù)$f（a）=\frac{{{a^2}+a-1}}{a+1}$的值域．

解答 解：因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，9），
所以正態(tài)曲線關于直線x=2對稱，所以P（ξ＞3）=P（ξ＜1）=a，
則有$\left\{\begin{array}{l}2a+b=1\\ a＞0，b＞0\end{array}\right.⇒0＜a＜\frac{1}{2}$，$f（a）=a-\frac{1}{a+1}=（a+1）-\frac{1}{a+1}-1$，
令$t=a+1∈（1，\frac{3}{2}）$，函數(shù)$f（a）=g（t）=t-\frac{1}{t}-1$在$t∈（1，\frac{3}{2}）$上是增函數(shù)，
所以$g（t）∈（g（1），g（\frac{3}{2}））=（-1，-\frac{1}{6}）$．
故答案為：$（-1，-\frac{1}{6}）$．

點評 本題考查正態(tài)曲線的性質，考查函數(shù)的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．