Question

5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1（n∈N^*）

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等時成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時，等式也成立即可．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=2¹-1=1，
∴等式成立…2分
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等時成立，即1+2+2²+…+2^k-1=2^k-1…4分
那么，當(dāng)n=k+1時，1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k…6分
=2×2^k-1
=2^k+1-1…8分
這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立…9分
根據(jù)（1）和（2），可知對n∈N^*等式成立…10分

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．