Question

17．山東某市2008年至2012年新建商品住宅每平方米的均價(jià)y
（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：

年份	2008	2009	2010	2011	2012
年份序號(hào)x	1	2	3	4	5
每平米均價(jià)y	2.0	3.1	4.5	6.5	7.9

（Ⅰ）求y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat y=\hat b•x+\hat a$；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析從2008年到2012年該市新建商品住宅每平方米均價(jià)的變化情況，并預(yù)測(cè)該市2015年新建商品住宅每平方米的均價(jià)．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x•\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b•\bar x$．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)$\hat$的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點(diǎn)代入，求出$\hat{a}$的值，得到線性回歸方程．
（Ⅱ）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=8代入線性回歸方程，預(yù)測(cè)該市2015年新建商品住宅每平方米的均價(jià)．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（1+2+3+4+5）=3，…．（1分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（2.0+3.1+4.5+6.5+7.9）=4.8，…．（2分）
$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=1²+2²+3²+4²+5²=55，…（3分）
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=1×2+2×3.1+3×4.5+4×6.5+5×7.9=87.2，…．（5分）
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{87.2-5×3×4.8}{55-5×9}=1.52$…．（7分）
$\hat a=\bar y-\hat b•\overline{x}=4.8-1.52×3=0.24$…（8分）
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為；$\hat y=\hat bx+\hat a=1.52x+0.24$…．（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a=1.52x+0.24$，可知$\hat b=1.52＞0$，
從2008年到2012年該市新建商品住宅每平方米均價(jià)逐年增加，
平均每年增加1.52千元；   …．（10分）
將2015年的年份代號(hào)x=8代入（Ⅰ）中的回歸方程得$\hat y=\hat bx+\hat a=1.52×8+0.24=12.4$（千元）=12400元
故預(yù)測(cè)該市到2015年新建商品住宅每平方米的價(jià)格為12400元．…．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題時(shí)運(yùn)算量比較大，注意利用公式求系數(shù)時(shí)，不要在運(yùn)算上出錯(cuò)．屬于中檔題．