Question

3．已知⊙C：（x-1）²+（y-2）²=2，過P（2．-1）作⊙C的切線，切點(diǎn)為A、B．
（1）求直線PA、PB的方程；
（2）求過P點(diǎn)⊙C的切線長；
（3）求∠APB；
（4）求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)切線的斜率為k，由直線和圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可得k的方程，解方程可得可知，可得切線的方程；
（2）設(shè)切線長為m，由勾股定理可得m²+2=PC²=10，解方程可得；
（3）由夾角公式可得tan∠APB，可得夾角；
（4）切線和圓的方程可得切點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，可得直線AB的方程．

解答 解：（1）由題意設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y+1=k（x-2），
整理為一般式可得kx-y-2k-1=0，
由直線和圓相切可得圓心（1，2）到直線的距離d等于半徑$\sqrt{2}$，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得$\frac{|k-2-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
解得k=-1或k=7，即直線PA、PB的方程為x+y-1=0，7x-y-15=0；
（2）設(shè)切線長為m，則m²+2=PC²=10，∴m=2$\sqrt{2}$；
（3）由夾角公式可得tan∠APB=|$\frac{-1-7}{1+（-1）•7}$|=$\frac{4}{3}$，
∴∠APB=arctan$\frac{4}{3}$；
（4）聯(lián)立（x-1）²+（y-2）²=2和x+y-1=0可解得x=0且y=1，即A（0，1），
同理可得B（$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$），故直線AB的斜率為$\frac{\frac{9}{5}-1}{\frac{12}{5}-0}$=$\frac{1}{3}$，
∴直線AB的方程為y-1=$\frac{1}{3}$x，即x-3y+3=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及直線和圓相切以及直線的夾角公式，屬中檔題．