Question

12．已知當(dāng)|p|≤2時(shí)，不等式2x-1＞p（x²-1）恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 不等式等價(jià)于p（x²-1）-（2x-1）＜0在[-2，2]上恒成立，利用一次函數(shù)要么為增函數(shù)，要么為減函數(shù)兩種情況分別討論即可．

解答 解：由|p|≤2得-2≤p≤2，
則不等式2x-1＞p（x²-1）恒成立，等價(jià)為p（x²-1）-（2x-1）＜0，
設(shè)f（p）=（x²-1）p-（2x-1）
要使f（p）＜0在[-2，2]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)
$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜0}\\{f（-2）＜0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-2x-1＜0}\\{-{2x}^{2}-2x+3＜0}\end{array}\right.$
∴$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
∴x的取值范圍是{x|$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$}

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題，利用一次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．