Question

15．設(shè)a、b為正數(shù)，考察如下兩組條件的關(guān)系：
α：對任意的x＞1，有ax+$\frac{x}{x-1}$＞b都成立；
β：$\sqrt{a}$+2＞$\sqrt$
則α是β的（　�。�

• A． 充分非必要條件
• B． 必要非充分條件
• C． 充要條件
• D． 既非充要又非必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)α，β中的條件，得到a，b的關(guān)系，從而得到答案．

解答 解：α：∵a、b為正數(shù)，x＞1，
ax+$\frac{x}{x-1}$=a（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+a+1≥2$\sqrt{a（x-1）•（\frac{1}{x-1}）}$+a+1=2$\sqrt{a}$+a+1=${（\sqrt{a}+1）}^{2}$＞b，
∴$\sqrt{a}$+1＞$\sqrt$，即：$\sqrt{a}$-$\sqrt$＞-1，
β：$\sqrt{a}$+2＞$\sqrt$?$\sqrt{a}$-$\sqrt$＞-2，
故α是β的充分不必要條件，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了充分必要條件，考查基本不等式問題，是一道基礎(chǔ)題．