Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3tx+8，x≤8}\\{（t-39）\sqrt{x}，x＞8}\end{array}\right.$，記a_n=f（n）（n∈N^*），若數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減，則實數(shù)t的取值范圍是（5，7）．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：要使函數(shù)f（x）=x²-3tx+18在x≤8（x∈N^*）時單調(diào)遞減，則$\frac{7+8}{2}$$＜\frac{3t}{2}$，解得t＞5；
要使函數(shù)f（x）=（t-39）$\sqrt{x}$在x＞8單調(diào)遞減，則必須滿足t-39＜0，解得t＜39．
又函數(shù)f（x）在x∈N^*時單調(diào)遞減，則f（8）=64-24t+8＞（t-39）$\sqrt{9}$，
即27t＜189，解得t＜7．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{t＞5}\\{t＜39}\\{t＜7}\end{array}\right.$，解得5＜t＜7．
故t的取值范圍是（5，7）
故答案為：（5，7）

點評 本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性、一次函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．