Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-x，等差數(shù)列{a_n}中，a₁=f（x+1），a₂=1，a₃=f（x）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）當(dāng)數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列時，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀|的值．

Answer 1

分析 （1）由題意結(jié)合等差中項(xiàng)的概念求得x，分類求出首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列可得a_n=3-n，由此求出等差數(shù)列前3項(xiàng)非負(fù)，去絕對值后結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀|的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-x，等差數(shù)列{a_n}中，a₁=f（x+1）=（x+1）²-（x+1）=x²+x，a₂=1，a₃=f（x）=x²-x，
∴2×1=x²+x+x²-x=2x²，即x=±1．
當(dāng)x=-1時，a₁=0，公差d=a₂-a₁=1，∴a_n=n-1；
當(dāng)x=1時，a₁=2，公差d=a₂-a₁=1-2=-1，∴a_n=2+（n-1）×（-1）=3-n．
（2）∵數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，∴a_n=3-n，
由a_n=3-n≥0，得n≤3．
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₂₀|=a₁+a₂+a₃-（a₄+a₅+…+a₂₀）
=2（a₁+a₂+a₃）-（a₁+a₂+…+a₂₀）=2（2+1+0）-20×2+$\frac{20×19×（-1）}{2}$=-224．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，是中檔題．