Question

11．若關(guān)于x的不等式ax²-4x+4a＞0在x＞0時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，ax²-4x+4a＞0可以變形為a＞$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$，令t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$，分析可得不等式ax²-4x+4a＞0在x＞0時(shí)恒成立，需要保證a大于t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$（x＞0）的最大值即可，由基本不等式的性質(zhì)分析可得t的最大值，即可得a的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，由ax²-4x+4a＞0可得a（x²+4）＞4x，
又由x²+4＞0，則其可以變形為a＞$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$，
令t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$，要使不等式ax²-4x+4a＞0在x＞0時(shí)恒成立，
需要保證a大于t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$（x＞0）的最大值即可，
而t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$=$\frac{4}{x+\frac{4}{x}}$，
而x+$\frac{4}{x}$≥4，（x=2時(shí)等號(hào)成立），則t≤$\frac{4}{4}$=1，
即t=$\frac{4x}{{x}^{2}+4}$的最大值為1，
故a＞1時(shí)，不等式ax²-4x+4a＞0在x＞0時(shí)恒成立，
故答案為：（1，+∞）..

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．．