Question

11．設函數(shù)f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=3x+2
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）若對任意x∈（0，3]都有f（x）≤mx+16成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求a，b，c的值，可由函數(shù)f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=3x+2轉化為方程解出a，b，c的值；
（2）若對任意x∈（0，3]都有f（x）≤mx+16成立，可先將問題轉化為m≥-x²-$\frac{16}{x}$+6對任意x∈（0，3]恒成立，運用導數(shù)求得右邊函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)m的取值范圍來．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx+c是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∵a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），
∴c=0．                                       
又f（x）在x=1處的切線方程為y=3x+2，
由f'（x）=3ax²+b，
∴f'（1）=3，且f（1）=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=3}\\{a+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$．
即有f（x）=-x³+6x；                        
（2）若對任意x∈（0，3]都有f（x）≤mx+16成立，
即為m≥-x²-$\frac{16}{x}$+6，對任意x∈（0，3]恒成立．
記g（x）=-x²-$\frac{16}{x}$+6，其中x∈（0，3]，則 g′（x）=-2x+$\frac{16}{{x}^{2}}$=-$\frac{2（{x}^{3}-8）}{{x}^{2}}$．
∴當x∈（0，2）時，g'（x）＞0，g（x）在（0，2）上單調遞增，
當x∈（2，3）時，g'（x）＜0，g（x）在（2，3）上單調遞減，
∴g（x）在（0，3]上的最大值是g（2）=-6，則m≥-6．    
可得所求實數(shù)m的取值范圍是[-6，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調區(qū)間、極值和最值，解題的關鍵是利用導數(shù)研究出函數(shù)的單調性，判斷出函數(shù)的最值，同時考查恒成立的問題一般轉化最值問題來求解，本題即轉化為用單調性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．