Question

19．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A（1，0），B（0，3），C（3，0），動點D滿足|CD|=1，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最小值是4．

Answer 1

分析 設D（x，y）．由|CD|=1，可得$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=1，化為（x-3）²+y²=1．令$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ∈[0，2π））.$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=（1+x，3+y）．利用模的計算公式可得|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設D（x，y）．
∵|CD|=1，∴$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=1，化為（x-3）²+y²=1．
令$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ∈[0，2π））．
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=（1+x，3+y）．
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|=$\sqrt{（1+x）^{2}+（3+y）^{2}}$=$\sqrt{（4+cosθ）^{2}+（3+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{6sinθ+8cosθ+26}$=$\sqrt{10sin（θ+β）+26}$$≥\sqrt{26-10}$=4，當sin（θ+β）=-1時取等號．
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最小值是4．
故答案為：4．

點評 本題考查了數(shù)量積的坐標運算性質(zhì)、向量的坐標運算、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．