Question

17．設函數(shù)f（x）=（x-1）²（x+a）e^x，x=1是f（x）的一個極大值點，求a的取值．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，利用x=1是f（x）的一個極大值點，得到f′（1）=0，然后進行驗證即可．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=e^x[（x-1）²（x+a）]+e^x[（x-1）²（x+a）]′，
∴f′（x）=e^x（x-1）[x²+（a+1）x-1]，
設g（x）=x²+（a+1）x-1，則△=（a+1）²+4＞0，所以g（x）有兩個不相等的實根．
于是可設x₁，x₂是g（x）=0的兩實根，且x₁＜x₂，
①當x₁=1或x₂=1時，則x=1不是f（x）的極值點，此時不合題意；
②當x₁≠1且x₂≠1時，由于x=1是f（x）的極大值點，故x₁＜1＜x₂，即g（1）＜0，
即1²+（1+a）-1＜0，所以a＜-1，
所以a的取值范圍是（-∞，-1）．

點評 本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的極值之間的關系，考查導數(shù)的基本運算，綜合性性較強，難度較大．