Question

17．求反函數(shù)（1）y=7${\;}^{{x}^{2}+1}$，x∈[0，1]（2）y=lgx²，x＜-1    （3）y=ln$\frac{x+1}{x-1}$，x∈（1，+∞）

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)y=7${\;}^{{x}^{2}+1}$，x∈[0，1]的值域，從而求得x=$\sqrt{lo{g}_{7}y-1}$，從而求反函數(shù)；
（2）先求出函數(shù)y=lgx²，x＜-1的值域，從而求得x=-$\sqrt{1{0}^{y}}$，從而求反函數(shù)；
（3）先求出函數(shù)y=ln$\frac{x+1}{x-1}$，x∈（1，+∞）的值域，從而求得x=1+$\frac{2}{{e}^{y}-1}$，從而求反函數(shù)．

解答 解：（1）y=7${\;}^{{x}^{2}+1}$，x∈[0，1]的值域為[7，49]，
且x²+1=log₇y，
故x=$\sqrt{lo{g}_{7}y-1}$，
故反函數(shù)為y=$\sqrt{lo{g}_{7}x-1}$，x∈[7，49]；
（2）y=lgx²，x＜-1的值域為（0，+∞），
且x²=10^y，
故x=-$\sqrt{1{0}^{y}}$，
故反函數(shù)為y=-$\sqrt{1{0}^{x}}$，x∈（0，+∞）；
（3）∵$\frac{x+1}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$＞1，
∴y=ln$\frac{x+1}{x-1}$，x∈（1，+∞）的值域為（0，+∞），
$\frac{x+1}{x-1}$=e^y，
故x=1+$\frac{2}{{e}^{y}-1}$，
故反函數(shù)為y=1+$\frac{2}{{e}^{x}-1}$，x∈（0，+∞）．

點評 本題考查了反函數(shù)的求法．