Question

8．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值為-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-2x，是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)m，n，使得函數(shù)h（x）的定義域?yàn)閇m，n]，值域?yàn)閇2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)f（-1）=-1，求出a的值即可；
（2）先求出g（x）的表達(dá)式，通過(guò)討論λ的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出λ的范圍；
（3）判斷得出h（x）在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，得到方程組解出即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax（x+2），
又a＞0，f（-1）=-1，
∴a=1，∴f（x）=x²+2x．
（2）g（x）=x²-2x-λx²-2λx+1=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1，
①當(dāng)λ=1時(shí)，g（x）=-4x+1在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴λ=1符合題意．
②當(dāng)λ≠1時(shí)，對(duì)稱軸方程為：$x=\frac{1+λ}{1-λ}$．
�。┊�(dāng)λ＜1時(shí)，1-λ＞0，所以$\frac{1+λ}{1-λ}≥1?1+λ≤1-λ$，得0≤λ＜1；
ⅱ）當(dāng)λ＞1時(shí)，1-λ＜0$\frac{1+λ}{1-λ}≤-1$，所以$\frac{1+λ}{1-λ}≤-1?1+λ≥-1+λ$，得λ＞1．
綜上，λ≥0．
（3）∵函數(shù)h（x）=f（x）-2x=x²+2x-2x=x²，
∴對(duì)稱軸x=0，[0，+∞）單調(diào)遞增，（-∞，0）單調(diào)遞減，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域是[2m，2n]，
則f（x）在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞增，
故有$\left\{\begin{array}{l}{0≤m＜n}\\{f（m）{=m}^{2}=2m}\\{f（n）{=n}^{2}=2n}\end{array}\right.$，解得：m=0，n=2，
故存在m=0、n=2，滿足條件的m，n的值存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．