Question

17．證明：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)減函數(shù)的定義，在（0，+∞）上設(shè)任意的x₁＞x₂，然后作差，通分，證明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在（0，+∞）是單調(diào)遞減函數(shù)．

解答 證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₂-x₁＜0，x₁x₂＞0；
∴$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），是分式的一般要通分．