Question

15．求函數y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的定義域、值域和單調區(qū)間．

Answer 1

分析 利用換元法，結合復合函數單調性之間的關系進行求解即可．

解答 解：設u=-x²+2x+3，則y=（$\frac{1}{2}$）^u為減函數，
則函數的定義域為（-∞，+∞），
函數u=-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，
則（$\frac{1}{2}$）^u≥（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$，即函數的值域為[$\frac{1}{16}$，+∞），
u=-x²+2x+3=-（x-1）²+4的對稱軸為x=1，拋物線開口向下，
當x≤1時，函數u=-x²+2x+3為增函數，則此時函數y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的單調遞減，即函數單調遞減區(qū)間為（-∞，1]，
當x≥1時，函數u=-x²+2x+3為減函數，則此時函數y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{-{x}^{2}+2x+3}$的單調遞增，即函數單調遞增區(qū)間為[1，+∞）．

點評 本題主要考查函數定義域，值域，單調區(qū)間的求解，利用換元法結合復合函數單調性之間的關系是解決本題的關鍵．