Question

20．判斷函數(shù)f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{1+{x}^{n}}$（x＞0）的間斷點(diǎn)，并指明其類型．（提示：分0＜x＜1，x=1，x＞1討論f（x）的表達(dá)式）

Answer 1

分析 根據(jù)提示，分0＜x＜1，x=1，x＞1三種情況求出數(shù)列極限$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{1+{x}^{n}}$，從而得出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{0＜x＜1}\\{\frac{1}{2}}&{x=1}\\{0}&{x＞1}\end{array}\right.$，然后便可求出f（x）在x=1處的左右極限，從而可判斷出x=1是f（x）的跳躍間斷點(diǎn)．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{1}&{0＜x＜1}\\{\frac{1}{2}}&{x=1}\\{0}&{x＞1}\end{array}\right.$；
∴$\underset{lim}{x→{1}^{+}}f（x）=0，\underset{lim}{x→{1}^{-}}f（x）=1$；
∴f（x）在x=1處的左右極限存在但不相等；
∴x=1是f（x）的跳躍間斷點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念和求法，函數(shù)間斷點(diǎn)的概念及類型．