Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪{e}．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=e^x-ax有且只有一個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)；作函數(shù)圖象可知，分相切與不相切討論即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x-ax有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
作函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象如下，

結(jié)合圖象知，當(dāng)a＜0時(shí)成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，相切時(shí)成立，
故（e^x）′=e^x=$\frac{{e}^{x}-0}{x-0}$；
故x=1；
故a=e；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪{e}．
故答案為：（-∞，0）∪{e}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生作圖與用圖的能力，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．