Question

20．?dāng)?shù)列$\frac{1}{2}$，2$\frac{3}{4}$，4$\frac{7}{8}$，6$\frac{15}{16}$，…的前n項和S_n=n²+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1．

Answer 1

分析 求出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法進行求解即可．

解答 解：數(shù)列的通項公式為a_n=2（n-1）+$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$=2（n-1）+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
則數(shù)列$\frac{1}{2}$，2$\frac{3}{4}$，4$\frac{7}{8}$，6$\frac{15}{16}$，…的前n項和S_n=（1+3+5+…2n-1）-$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{2}^{3}}-…-\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1+2n-1}{2}×n$-$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=n²+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1，
故答案為：n²+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1

點評 本題主要考查數(shù)列求和的計算，利用分組求和法以及等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和公式是解決本題的關(guān)鍵．