Question

6．如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PCD⊥底面ABCD，且PC=PD=a．
（1）求證：PD⊥BC；
（2）當(dāng)a的值為多少時滿足PC⊥平面PAD？并求出此時該四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)，可得BC⊥平面PDC，即可證明PD⊥BC；
（2）取CD的中點(diǎn)為O，連接PO，證明PO⊥平面ABCD，由題意可得PC⊥PD，a=$\sqrt{2}$，PO=1，即可求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答 （1）證明：∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，
∴BC⊥平面PDC，
∵PD?平面PDC，∴PD⊥BC…（5分）
（2）解：取CD的中點(diǎn)為O，連接PO
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=DC，
且PO?平面PCD，PO⊥CD
∴PO⊥平面ABCD…（8分）
由題意可得PC⊥PD，a=$\sqrt{2}$，PO=1，…（10分）
此時該四棱錐的體積為V=$\frac{1}{3}$×2²×1=$\frac{4}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直，面面垂直，考查幾何體體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)是關(guān)鍵．