Question

1．棱長均為4的三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{8}{3}π$
• B． 6π
• C． 16π
• D． 24π

Answer 1

分析 正四面體補(bǔ)成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系，求解即可．

解答 解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同．
∵正四面體的棱長為4，∴正方體的棱長是2$\sqrt{2}$，
又∵球的直徑是正方體的對角線，設(shè)球半徑是R，
∴2R=$2\sqrt{2}×\sqrt{3}$，∴R=$\sqrt{6}$，球的表面積為4π（$\sqrt{6}$）²=24π．
故選：D．

點(diǎn)評 巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化．若已知正四面體V-ABC的棱長為a，求外接球的半徑，可以構(gòu)造出一個(gè)球的內(nèi)接正方體，再應(yīng)用對角線長等于球的直徑可求得．