Question

下列四個命題中，
①二直線平行的充要條件是它們的斜率相等；
②點P（x，y）到A（-2，0），B（2，0）的距離和是4，則P的軌跡是線段AB；
③雙曲線上的點P與兩焦點F₁，F₂滿足|PF₁|=2|PF₂|，則雙曲線的離心率e∈（1，3]；
④若△ABC的周長為10，A（-1，0）、B（1，0），則點C的軌跡方程是

x2

16

+

y2

15

=1．
其中正確的命題是

 

（將你認為正確的命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①二直線平行的充要條件是它們的斜率相等且在y軸上的截距不等或斜率都不存在且在x軸上的截距不等；
②點P（x，y）到A（-2，0），B（2，0）的距離和是4，則P的軌跡是線段AB；
③雙曲線上的點P與兩焦點F₁，F₂滿足|PF₁|=2|PF₂|，則|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，可得2a+2c≥4a且4a+2a≥2c，解得即可；
④若△ABC的周長為10，A（-1，0）、B（1，0），則點C滿足|AC|+|BC|=10=2a＞|AB|=2，可得a=5，b²=a²-c²=24，即可得出橢圓的標準方程．

解答： 解：①二直線平行的充要條件是它們的斜率相等且在y軸上的截距不等或斜率都不存在且在x軸上的截距不等，因此不正確；
②點P（x，y）到A（-2，0），B（2，0）的距離和是4，則P的軌跡是線段AB，正確；
③雙曲線上的點P與兩焦點F₁，F₂滿足|PF₁|=2|PF₂|，則|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，∴2a+2c≥4a且4a+2a≥2c，解得1＜e≤3，因此雙曲線的離心率e∈（1，3]，正確；
④若△ABC的周長為10，A（-1，0）、B（1，0），則點C滿足|AC|+|BC|=10=2a＞|AB|=2，因此其橢圓的標準方程為

x2

25

+

y

24

=1，因此不正確．
綜上可得：只有②③正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查了圓錐曲線的定義及其標準方程、相互平行的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．