Question

16．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BCC₁B₁是矩形，截面A₁BC是等邊三角形．  
（I）求證：AB=AC；
（Ⅱ）若AB⊥AC，平面A₁BC⊥底面ABC，求二面角B-B₁C-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取BC中點O，連OA，OA₁．證明：BC⊥平面A₁OA，可得BC⊥OA，即可證明AB=AC；
（Ⅱ）分別以O(shè)A，OB，OA₁為正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出平面BB₁C的法向量、平面A₁B₁C的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-B₁C-A₁的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取BC中點O，連OA，OA₁．
因為側(cè)面BCC₁B₁是矩形，所以BC⊥BB₁，BC⊥AA₁，
因為截面A₁BC是等邊三角形，所以BC⊥OA₁，
于是BC⊥平面A₁OA，BC⊥OA，因此：AB=AC．…（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)BC=2，則OA₁=$\sqrt{3}$，由AB⊥AC，AB=AC得OA=1．
因為平面A₁BC⊥底面ABC，OA₁⊥BC，所以O(shè)A₁⊥底面ABC．
如圖，分別以O(shè)A，OB，OA₁為正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz． …（6分）
A（1，0，0），B（0，1，0），A₁ （0，0，$\sqrt{3}$），C（0，-1，0），
$\overrightarrow{CB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0）．
設(shè)平面BB₁C的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，1）．
同理可得平面A₁B₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，則二面角B-B₁C-A₁的余弦值為-$\frac{\sqrt{7}}{7}$． …（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角的余弦值，考查向量法的運用，正確運用向量法是關(guān)鍵．