Question

2．過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F的直線l交C于A、B兩點，P為C的準線上的動點，且A、B、P三點不共線，∠APB=θ，則$cos\frac{θ}{2}$的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 證明以AB為直徑作圓則此圓與準線l相切，可得0°＜θ≤90°，即可求出$cos\frac{θ}{2}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)AB為過拋物線焦點F的弦，C為AB中點，A、B、P在準線l上射影分別為M、N、Q，
∵AC+BC=AM+BN
∴CQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴以AB為直徑作圓則此圓與準線l相切，
∵P為C的準線上的動點，且A、B、P三點不共線，∠APB=θ，
∴0°＜θ≤90°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$cos\frac{θ}{2}$＜1．
故答案為：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

點評 本題以拋物線為載體，考查拋物線過焦點弦的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運用拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化，綜合性強．