Question

14．已知函數(shù)f（x）滿足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2．則$\frac{{f}^{2}（1）+f（2）}{f（1）}+\frac{{f}^{2}（2）+f（4）}{f（3）}$+$\frac{{f}^{2}（3）+f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{{f}^{2}（2016）+f（4032）}{f（4031）}$=8064．

Answer 1

分析 利用已知條件求出$\frac{f（n+1）}{f（n）}$的值，然后化簡所求的表達式求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）滿足f（a+b）=f（a）•f（b），
當a=b時，可得f（2a）=f²（a），
令b=1，a=n，可得f（n+1）=f（n）•f（1），
即：$\frac{f（n+1）}{f（n）}=f（1）$=2，
則$\frac{{f}^{2}（1）+f（2）}{f（1）}+\frac{{f}^{2}（2）+f（4）}{f（3）}$+$\frac{{f}^{2}（3）+f（6）}{f（5）}$+…+$\frac{{f}^{2}（2016）+f（4032）}{f（4031）}$
=$\frac{2f（2）}{f（1）}$+$\frac{2f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{2f（4032）}{f（4031）}$
=2[f（1）+f（1）+f（1）+…+f（1）]=2×2016×2
=8064．
故答案為：8064．

點評 本題考查抽象函數(shù)的應用，賦值法的應用，考查轉化思想以及計算能力．