Question

6．已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），當x∈（0，1）時f（x）＞0，且x，y∈（0，+∞）時總有f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求證：f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（2）證明：函數f（x）在定義域（0，+∞）上為減函數；
（3）若f（3）=1，且f（a）＜f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）需要特別注意構造方法，x=y•$\frac{x}{y}$即可．
（2）抽象函數的單調性證明需要特別注意構造方法，構造出$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），可應用已知得f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，進而根據函數單調性的定義得到結論．
（3）根據若f（3）=1，f（9）=2，根據運算法以及單調性求得a的范圍．

解答 解：（1）證明：由題意得：
f（x）=f（y•$\frac{x}{y}$）=f（y）+f（$\frac{x}{y}$），
故f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（2）證明：設0＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）=f（${x}_{2}•\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₂）+f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），
∵當x∈（0，1）時f（x）＞0，
∵$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f（x）在定義域（0，+∞）上為減函數；
（3）若f（3）=1，
∴f（9）=2，
∴f（a）＜f（a-1）+f（9）=f（9（a-1）），
∴a＞9（a-1），
∴1＜a＜$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查抽象函數的運算法則以及單調性的證明和解不等式．