Question

12．已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量$\overrightarrow{m}$=（4，1），$\overrightarrow{n}$=（sin²$\frac{A}{2}$，cos2A），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求角A的大��；
（2）若2bsinB=（2a-c）sinA+（2c-a）sinC，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用已知計算$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，然后令它等于$\frac{1}{2}$，可求A的值．
（2）由正弦定理化簡已知等式可得a²+c²-b²=ac，利用余弦定理可求cosB，結(jié)合范圍可求B，C，即可得解．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$=（4，1），$\overrightarrow{n}$=（sin²$\frac{A}{2}$，cos2A），
$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4sin²$\frac{A}{2}$+cos2A（1分）
=2-2cosA+cos2A
=2cos²A-2cosA+1（3分）
又因為$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$．所以$\frac{1}{2}$=2cos²A-2cosA+1，
解得cosA=$\frac{1}{2}$（5分）
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$（6分）
（2）∵2bsinB=（2a-c）sinA+（2c-a）sinC，
∴由正弦定理可得：2b²=（2a-c）a+（2c-a）c，整理可得：a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍：0＜B＜π，解得B=$\frac{π}{3}$，
∴解得：C=A=B=$\frac{π}{3}$，△ABC為等邊三角形．

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．