Question

17．已知集合A={y|y＜a或y＞a²+1}，B={y|y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$，0≤x≤3}，
（1）若A∩B=∅，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值時(shí)，求（∁_RA）∩B．

Answer 1

分析 （1）求解函數(shù)的值域化簡(jiǎn)集合B，由A∩B=∅，利用兩集合端點(diǎn)值間的關(guān)系列不等式組求得a的取值范圍；
（2）由不等式x²+1≥ax恒成立求出a的范圍，得到a的最小值，求出A，進(jìn)一步得到∁_RA，與集合B取交集得答案．

解答 解：（1）A={y|y＜a或y＞a²+1}，B={y|y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$，0≤x≤3}={y|2≤y≤4}，
若A∩B=∅，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{{a}^{2}+1≥4}\end{array}\right.$，解得：$a≤-\sqrt{3}$或$\sqrt{3}≤a≤2$．
∴a的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}，2$]；
（2）由x²+1≥ax，得x²-ax+1≥0恒成立，
則△=a²-4≤0，即-2≤a≤2．
即a的最小值為-2，當(dāng)a=-2時(shí)，A={y|y＜-2或y＞5}．
∴∁_RA={y|-2≤y≤5}．
則（∁_RA）∩B={y|2≤y≤4}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了恒成立問題的解法，是基礎(chǔ)題．