Question

14．己知函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，x=-$\frac{π}{24}$為它的圖象的一條對(duì)稱軸．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊，若f（-$\frac{A}{2}$）=$\sqrt{2}$，a=3，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的最小正周期為π，可求ω，由x=-$\frac{π}{24}$為它的圖象的一條對(duì)稱軸．可得2×$（-\frac{π}{24}）$+φ=kπ，（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），解得φ，可得函數(shù)解析式，由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{12}$≤2kπ，解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由已知可求cos（A-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結(jié)合范圍$\frac{π}{12}$＜A-$\frac{π}{12}$＜$\frac{11π}{12}$，可求A，利用余弦定理及基本不等式可得：（b+c）²=9+3bc≤9+3（$\frac{b+c}{2}$）²，解得b+c≤6，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取等號(hào)．

解答 解：（1）∵f（x）的最小正周期為π，∴ω=2，
∵x=-$\frac{π}{24}$為它的圖象的一條對(duì)稱軸．
∴2×$（-\frac{π}{24}）$+φ=kπ，（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），
∴φ=$\frac{π}{12}$，
∴f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{12}$），
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{12}$≤2kπ，解得：k$π-\frac{13π}{24}$≤x≤k$π-\frac{π}{24}$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{13π}{24}$，k$π-\frac{π}{24}$]，k∈Z，
（2）∵f（-$\frac{A}{2}$）=2cos（A-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$，
∴cos（A-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{π}{12}$＜A-$\frac{π}{12}$＜$\frac{11π}{12}$，∴A-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，∴A=$\frac{π}{3}$，
∵a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
∴（b+c）²=9+3bc≤9+3（$\frac{b+c}{2}$）²，
∴b+c≤6，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取等號(hào)，
故b+c的最大值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)周期公式，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．