Question

8．如圖，拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），取垂直于y軸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P₁，P₂．過P₁，P₂作圓心為Q的圓，使拋物線的其余點(diǎn)均在圓外，且P₁Q⊥P₂Q．
（1）求拋物線C和圓Q的方程；
（2）過點(diǎn)F作直線，與拋物線C和圓Q依次交于M，A，B，N，求|MN|•|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出p值，可得拋物線方程，再由P₁（-2，1），P₂（2，1）到圓Q的圓心Q的距離最小，求得Q的坐標(biāo)，可得圓Q的方程；
（2）設(shè)出直線方程y=kx+1，和拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求得|MN|，再由圓心距、圓的半徑和弦長(zhǎng)的關(guān)系求得|AB|，從而求得|MN|•|AB|的最小值．

解答 解：（1）由拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），可得：$\frac{p}{2}=1$，即p=2，
∴拋物線方程為x²=4y．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，解得P₁（-2，1），P₂（2，1），
設(shè)Q（0，m），要使拋物線x²=4y上有兩點(diǎn)P₁（-2，1），P₂（2，1）到Q（0，m）的距離最小，
則m＞2，且m-2=1，∴m=3，
則Q（0，3），$|Q{P}_{1}|=\sqrt{（-2-0）^{2}+（1-3）^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴滿足條件的圓Q的方程為x²+（y-3）²=8；
（2）由題意可知，直線斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
x_M+x_N=4k，
∴|MN|=${y}_{M}+{y}_{N}+2=k（{x}_{M}+{x}_{N}）+4=4（{k}^{2}+1）$，
Q到直線kx-y+1=0的距離d=$\frac{|-1×3+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴$|AB|=2\sqrt{8-\frac{4}{{k}^{2}+1}}=2\sqrt{\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}+1}}$，
∴|MN|•|AB|=$4（{k}^{2}+1）•2\sqrt{\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}+1}}$=$16\sqrt{（{k}^{2}+1）（2{k}^{2}+1）}=16\sqrt{2{k}^{4}+3{k}^{2}+1}$．
∴當(dāng)k²=0，即k=0時(shí)，（|MN|•|AB|）_min=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線方程的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，以及圓的方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬難題．