Question

14．已知矩陣A=$（\begin{array}{l}{a}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}）$．A的一個特征值λ=2．
（1）求矩陣A；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，1）依次在矩陣A所對應(yīng)的變換σ和關(guān)于x軸對稱的反射變換γ的作用下得到點(diǎn)P′，寫出復(fù)合變換γ•σ的變換公式，并求出點(diǎn)P′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)矩陣M的一個特征值為1，代入特征多項(xiàng)式求出a的值，求出γ•σ，即可求出點(diǎn)P′的坐標(biāo)．

解答 解：矩陣M的特征多項(xiàng)式f（λ）=（λ-a）（λ-4）+2，
又∵矩陣M的一個特征值為2，
∴f（2）=0，∴a=1，
由γ•σ=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}][\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{1}&{-4}\end{array}]$，
設(shè)P′（x，y），則$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{1}&{-4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，
∴x=3，y=-3，
∴P′（3，-3）．

點(diǎn)評 本題主要考查矩陣的特征值與變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力及函數(shù)與方程思想，屬于基礎(chǔ)題．