Question

6．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，且a₃b₃=$\frac{1}{2}$與S₃+S₅=21，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式，建立方程組關(guān)系，求出首項(xiàng)和公差，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，∴b₃=$\frac{1}{{S}_{3}}$，
∵a₃b₃=$\frac{1}{2}$與S₃+S₅=21，
∴a₃$\frac{1}{{S}_{3}}$=$\frac{1}{2}$與S₃+S₅=21，
設(shè)首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則2a₃=S₃，S₃+S₅=21，
即$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+4d=3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d}\\{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d+5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=21}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，公差為d=1，
即S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=n+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
則b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，根據(jù)方程組思想求出首項(xiàng)和公差是解決本題的關(guān)鍵．