Question

2．已知兩個(gè)正數(shù)a，b滿足a+b=1
（1）求證：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥4
（2）若不等式|x-2|+|2x-1|≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$對(duì)任意正數(shù)a，b都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用基本不等式證得結(jié)論．
（2）由題意可得|x-2|+|2x-1|≤4，分類討論，去掉絕對(duì)值，求得它的解集．

解答 解：（1）證明：∵兩個(gè)正數(shù)a，b滿足a+b=1，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}$=2+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，取等號(hào)，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥4成立．
（2）由題意結(jié)合（1）可知，只須|x-2|+|2x-1|≤4，
而當(dāng)$x＜\frac{1}{2}$時(shí)，解不等式2-x+1-2x≤4得$-\frac{1}{3}≤x＜\frac{1}{2}$，
當(dāng)$\frac{1}{2}≤x＜2$時(shí)，解不等式2-x+2x-1≤4得$\frac{1}{2}≤x＜2$，
當(dāng)x≥2時(shí)，解不等式x-2+2x-1≤4得$2≤x≤\frac{7}{3}$，
綜上|x-2|+|2x-1|≤4的解集為$\{x\left|{-\frac{1}{3}≤x≤\frac{7}{3}}\right.\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．