Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R．
（1）若直線y=kx與f（x）的反函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)k的值；
（2）若m＜0，討論函數(shù)g（x）=f（x）+mx²零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的反函數(shù)，設出切點的坐標，從而求出k的值；（2）問題掌握求函數(shù)f（x）=e^x和h（x）=-mx²的交點問題，畫出圖象讀出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x的反函數(shù)為y=lnx，${y}^{′}=\frac{1}{x}$，
設直線y=kx與f（x）的反函數(shù)的圖象相切于點P（x₀，lnx₀），
∴$k=\frac{1}{{x}_{0}}$，lnx₀=kx₀，
解得x₀=e，k=$\frac{1}{e}$；
（2）令g（x）=f（x）+mx²=e^x+mx²=0，
得：e^x=-mx²，∵m＜0，∴-m＞0，
畫出函數(shù)f（x）=e^x和h（x）=-mx²，如圖示：
∴函數(shù)g（x）有2個零點．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值零點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．