Question

12．設函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，函數(shù)g（x）=3^ax-4^x（x∈R）．
（1）求g（x）的解析式；
（2）若方程g（x）-b=0在[-2，2]上有兩個不同的解，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出3^a=2，代入g（x）=3^ax-4^x即可求解函數(shù)的解析式．
（2）化簡方程，構造函數(shù)，利用數(shù)形結合求解實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，∴3^a+2=18⇒3^a=2-----------（2分）
∵g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，------------（4分）
（2）方程為2^x-4^x-b=0  令t=2^x，x∈[-2，2]，則$\frac{1}{4}≤t≤4$-----------（6分）
且方程為t-t²-b=0在有兩個不同的解．
設y=t-t²=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，y=b 兩函數(shù)圖象在$[{\frac{1}{4}，4}]$內有兩個交點--------（8分）

由圖知$b∈[{\frac{3}{16}，\frac{1}{4}}）$時，方程有兩不同解．--------（12分）

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的零點的求法，考查數(shù)形結合，考查計算能力．