Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，記的極小值為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間；當(dāng)時，遞增區(qū)間，遞減區(qū)間； （2）證明見解析.

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）可知，取得，把，轉(zhuǎn)化為，

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，

則，

①當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當(dāng)時，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

綜上可得：

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)遞增區(qū)間，遞減區(qū)間.

（2）由（1）可知，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，

極小值為，

要證：，只需證：，只需證：，

即，

設(shè)，則，

令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，

即當(dāng)時，，即，

所以.