Question

20．已知lnx-$\frac{1}{2}$x²+2c＜0恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 lnx-$\frac{1}{2}$x²+2c＜0恒成立，等價(jià)于lnx-$\frac{1}{2}$x²＜-2c恒成立，求出y=lnx-$\frac{1}{2}$x²的最大值，即可求c的取值范圍．

解答 解：lnx-$\frac{1}{2}$x²+2c＜0恒成立，等價(jià)于lnx-$\frac{1}{2}$x²＜-2c恒成立，
設(shè)y=lnx-$\frac{1}{2}$x²，則y′=$\frac{1}{x}$-x，
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值-$\frac{1}{2}$，
∴-2c＞-$\frac{1}{2}$，
∴c＜$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，正確分離參數(shù)求最大值是關(guān)鍵．