Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），離心率為

（1）求橢圓的方程；
（2）若A（0，1），設(shè)M，N是橢圓上異于點(diǎn)A的任意兩點(diǎn)，且AM⊥AN，線段MN的中垂線l與x軸的交點(diǎn)為（m，0），求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的方程為 + =1（a＞b＞0），

可得a=2，e= = ，解得c= ，

b= =1，

即有橢圓的方程為 +y2=1；

（2）解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，

由直線y=kx+t代入橢圓方程x2+4y2=4，可得

（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，

△=64k2t2﹣16（1+4k2）（4t2﹣4）＞0，即1+4k2＞t2，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

可得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ），

中垂線方程為y﹣ =﹣ （x﹣ ），

令y=0，可得x=m=﹣ ，

由AM⊥AN，可得 =﹣1，

即為（1+k2）x1x2+（t﹣1）2+k（t﹣1）（x1+x2）=0，

化為（1+k2）（4t2﹣4）+（t﹣1）2（1+4k2）+4（t﹣1）（﹣8kt）=0，

解得t=1或﹣ ，顯然滿足判別式大于0．

即有m=﹣ 或 ，

當(dāng)k=0時(shí)，m=0；

當(dāng)k＞0時(shí)，m= ≥﹣ =﹣ ，即為﹣ ≤m＜0；

或m= = ≤ = ，即為0＜m≤ ；

同樣當(dāng)k＜0時(shí)，可得0＜m≤ 或﹣ ≤m＜0．

綜上可得m的范圍是[﹣ ， ]∪[﹣ ， ]

【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為 + =1（a＞b＞0），運(yùn)用離心率公式，以及a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，由直線y=kx+t代入橢圓方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，結(jié)合兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，由基本不等式可得最值，進(jìn)而得到所求范圍．